خاصية التجميع

استخدم العالم الرياضي هاملتون خاصية التجميع لتسهيل عمليات الجمع والضرب ل3 أرقام أو أكثر، وتُدرس خاصية التجميع كثيراً في المدارس لتعليم الطلاب عدة طرق لحل مسائل رياضية. سنتعرف في هذه المقالة إلى عمليات خاصية التجميع.

خاصية التجميع في الرياضيات:

تنص خاصية التجميع في الرياضيات على أنه عند إضافة أو ضرب 3 أرقام أو أكثر، يكون المجموع هو نفسه بغض النظر عن ترتيب الأعداد وطريقة الحل المتبعة. تستخدم خاصية التجميع الأقواس كوحدة واحدة وتتضمن 3 أرقام أو أكثر. لا يمكن استخدام خاصية التجميع إلا مع الجمع والضرب وليس مع الطرح والقسمة.

بعض أمثلة على خاصية التجميع:

 4 + ( 5 + 3) =5+ (3 +4) = 3 +(5 + 4) = 12

2 x (4 x 3) = 3 x (4 x  2) = 24

تشير الأمثلة أعلاه إلى أن تغيير خاصية التجميع لا يُجري أي تغييرات على الإجابة بتاتاً، ونستخدم هذه الخاصية أثناء إضافة أو ضرب أرقام متعددة حيث يمكننا إنشاء مكونات أصغر لحلها بطريقة مبسطة باستخدام الأقواس.

ومع ذلك، لا يمكننا تطبيق خاصية التجميع على الطرح أو القسمة؛ عندما نغير تجميع الأرقام في الطرح أو القسمة فإنه يغير الإجابة وبالتالي، فإن هذه الخاصية غير قابلة للتطبيق في حالتي الطرح والقسمة. على سبيل المثال ^[1]  

10 - (5 - 2) = 7

(10 - 5) - 2 = 3

إذن، 10 - (5 - 2) ≠ (10-5 ) –2    

خاصية التجميع في الجمع:

يتميز عملية الجمع بخاصية التجميع التي تنص على أن ناتج مجموعةً من الأعداد الحقيقيّة يبقى متساوياً عند تغيير الأعداد الموجودة داخل الأقواس أو طريقة تجميع الأعداد المضافة إذ يمكننا تجميع الأرقام بأي طريقة نختارها دون تغيير الترتيب وسيظل المجموع كما هو. وتتكوّن مجموعة الأعداد من ثلاثة أرقام غالباً؛ حيثُ إنّ أ+(ب+جـ)= ب+(أ+جـ) = جـ+(أ+ب)؛ فعلى سبيل المثال إنّ 4+(3+2)=9، كما أنّ 3+(4+2)=9 أيضاً.

أمثلة على استخدام خاصية التجميع في عملية الجمع:

• 45 + ( 34 + 98 ) = 177 فإنها تساوي 34 + ( 98 + 45 ) = 177
• ( 67 + 54) + 899   = 1020  فإنها تساوي (899 + 54) + 67   = 1020
• 659 + ( 75 + 5) = 739 فإنها تساوي ( 75 +  659) + 5  = 739 
• (345 + 876) + ( 450 + 341) = 2012 فإنها تساوي 345 + (876 + 450 + 341) = 2012
•  125+  258 + 364 + 980 = 1727 فإنها تساوي 125 + 258 + ( 364 + 980) = 1727

خاصية التجميع في الطرح:

لا يمكن استخدام خاصية التجميع في عملية الطرح حيث إن تغيير ترتيب الأعداد يؤدي إلى ظهور نتيجة أخرى مختلفة بإشارة جديدة إما سالبة أو موجبة، فعلى سبيل المثال:

• 7 -5 - 4 = -2 فإنها لا تساوي 7- ( 5- 4) = 6
• (3  - 6) -6 = -9  فإنها لا تساوي 3 - (  6- 6 ) = صفر
• 234 – (765 - 98 ) = -433 فإنها لا تساوي (234 – 765) -98 = -629
• 5667 – (4563 – 4561) -976 = 4689 فإنها لا تساوي (5667 – 4563) – (4561 – 976) =-4433

يمكن تبرير أنه لا يمكن استخدام خاصية التجميع في عملية الطرح من خلال استخدام الرموز؛ حدد ما إذا كانت هذه العبارة صحيحة:

( س- ص) – ع = س – (ص – ع)

1. حاول أن تجعل الجانب الأيمن يساوي الجانب الأيسر من خلال إزالة الأقواس لتصبح س – ص – ع
2. اخرج اشارة السالب كعامل مشترك بين ص و ع لتصبح س – (ص+ ع )
3. قارن ما إذا كانت العبارة صحيحة أما لا؛  س –( ص + ع) و س – (ص – ع)
4. يتبين من الخطوة السابقة بأن العبارة غير صحيحة لأن س –( ص + ع) ≠ س – (ص – ع)

خاصية التجميع في الضرب:

تملي خاصية التجميع للضرب أنه عند ضرب ثلاثة أرقام أو أكثر ، يمكننا تجميع الأرقام بأي طريقة نختارها دون تغيير الترتيب وسيظل المنتج كما هو. فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب: 3×(5×4)= 60، ويساوي ناتج 4×(3×5)= 60؛ ويمكن التعبير عنها بالرموز: أ×(ب×ج)= (أ×ب)×ج، وهي تعني باختصار أن موقع الأقواس في المسألة الرياضية لا يؤثر على نتيجتها النهائية.

أمثلة على خاصية التجميع لعملية الضرب: ^[2]  

• ( 5 × 6)× 8 = 240 فهي تساوي ( 8 × 5) ×6  = 240
• 4 × (7 ×  2 ) = 56 فهي تساوي 2 × (7 × 4) = 56
• 12 × (3 × 20) =720 فهي تساوي 20 ×(12 × 3 ) = 720
• (43 × 45) × 78 = 150,930 فهي تساوي (78 × 43) × 45  = 150,930   
• 131 × ( 34 × 7) = 31,178 فهي تساوي 7 × ( 131 × 34 ) = 31,178

خاصية التجميع في القسمة:

لا يمكن استخدام خاصية التجميع على عملية القسمة إذ إن ناتج يتغير عند تغيير ترتيب الأعداد وموقع الأقواس كذلك. فعلى سبيل المثال؛

• 100 ÷ 20÷ 5 = 1  فهي لا تساوي 100÷ ( 20 ÷ 5) = 25
• (30 ÷3 )÷5 =2 فإنها لا تساوي 30 ÷(3÷5) =50
• (144 ÷2 ) ÷8 =7 فإنها لا تساوي 144 ÷ (8÷2) =36
• (363 ÷3 ) ÷11 =11  فإنها لا تساوي 363 ÷(3 ÷ 11) =1331

يمكن تبرير عدم استخدام هذه الخاصية على عملية القسمة باستخدام الرموز: ^[3]  

حدد ما إذا كان التعبير التالي صحيحًا:  (4س ÷2س) ÷س = 4س ÷(2س ÷س)

1. حل التعبير بالجهة اليمنى مع مراعاة بأن أولوية للأقواس  (4س ÷2س) ÷س = 2س ÷س =س
2. حل التعبير بالجهة اليسرى مع مراعاة بأن أولوية للأقواس 4س ÷(2س÷س) = 4س ÷س =3س
3. س ≠ 3س، فإذن (4س ÷2س) ÷س ≠  4س ÷(2س ÷س)

تتضمن خاصية التجميع استخدام الأقواس لحل مسائل تتعلق بالضرب والجمع، وتعطي خاصية التجميع تعبيرًا مكافئًا عندما يتم تجميع العناصر دون تغيير الترتيب. وقد تعرفنا في هذه المقالة إلى بعض أمثلة على خاصية التجميع يمكن الاستفادة منها.